Logika Matematika - Rangkuman Materi, Tabel Kebenaran & Contoh Soal

Salah satu ilmu cabang matematika yang menjadi wajib untuk dipelajari adalah logika matematika. Ilmu ini menggabungkan ilmu logika dan ilmu matematika sebagai kuncinya dan adalah landasan dasar untuk mengambil sebuah kesimpulan. Mempelajari ilmu ini sangat penting karena menjadi konsep dasar untuk menentukan benar atau salahnya sebuah kesimpulan.

Ada setidaknya 11 macam materi mengenai logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 materi tersebut adalah pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.

 Salah satu ilmu cabang matematika yang menjadi wajib untuk dipelajari adalah logika matem Logika Matematika - Rangkuman Materi, Tabel Kebenaran & Contoh Soal

Pernyataan


Pada dasarnya, dalam ilmu matematika pernyataan adalah sebuah kalimat yang dapat dinyatakan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun tidak dapat dinyatakan keduanya. Sebuah kalimat dapat dinyatakan sebagai pernyataan bila dapat ditentukan benar atau salahnya. bila adalah sebuah kalimat relative, maka tidak dapat ditentukan sebagai pernyataan.

Pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya berbeda dari segi kepastiannya.

1. Pernyataan terbuka(kalimat terbuka) adalah pernyataan yang belum dapat dipastikan nilai kebenaran atau salahnya.
Contoh logika matematika:

Penyataan terbuka: Bapak Presiden akan mengunjungi Kota Makassar besok pagi (kalimat yang harus dibuktikan terlebih dahulu).


2. Pernyataan tertutup(kalimat tertutup) adalah adalah pernyataan yang sudah dapat dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.

Contoh logika matematika:

Pernyataan tertutup: 60 + 40 = 100 (benar) dan 200:4 = 60 (salah). Kedua pernyataan tersebut dapat dipastikan kebenaran dan kesalahannya.

Ada satu pernyataan lagi yang disebut dengan pernyataan relatif, Pernyataan ini adalah pernyataan yang dapat benar namun juga salah. 

Agar lebih memahaminya, berikut contohnya,

Pernyataan relatif: 
Musik pop adalah musik yang menyenangkan (adalah pernyataan relatif karena tidak semua orang menyukai musik pop)
Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, karena sebagian orang mengatakan dekat karena dapat ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).


Negasi atau ingkaran


Negasi dalam bahasa yang lebih sederhana adalah pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata “tidak benar bahwa…” untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Negasi biasanya dinyatakan dengan symbol . Agar lebih memahaminya, berikut contoh untuk kalimat negasi.

Contoh Negasi: 

Pernyataan A:
Semua sungai mengalir ke samudera

Negasi atau ingkaran dari pernyataan A:
Tidak benar bahwa semua sungai mengalir ke samudera.

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk dalam logika matematika terdiri atas konjungsi , disjungsi , implikasi , dan biimplikasi dibawah ini kami beri penjelasannya masing-masing:

Konjungsi


Dalam logika matematika, hukum konjungsi adalah benar hanya bila kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah bila salah satu pernyataan atau keduanya adalah salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan menggunakan tanda ^ yang berarti “dan”.

Tabel Kebenaran Konjungsi



p
q
P ^ q
Logika matematika
B
B
B
bila p benar dan q benar maka p dan q adalah benar
B
S
S
bila p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
S
B
S
bila p salah dan q benar maka p dan q adalah salah
S
S
S
bila p salah dan q salah  maka p dan q adalah salah
Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan penjelasan dibawah ini.

Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar

Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah

Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah

Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah

Disjungsi


Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, disjungsi menggunakan symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi adalah apabila salah satu dari dua pernyataan adalah benar, maka hasilnya adalah benar. Namun bila keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.


Tabel Kebenaran Disjungsi


p
q
P v q
Logika matematika
B
B
B
bila p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
B
S
B
bila p benar dan q salah maka p atau q adalah benar
S
B
B
bila p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
S
S
S
bila p salah dan q salah  maka p atau q adalah salah
Berikut penjelasannya.

Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar

Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar

Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar

Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah


Implikasi


Konsep implikasi adalah konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “bila p… maka q…”. Berikut ini adalah konsep dari implikasi untuk dipahami.

Tabel Kebenaran Implikasi


p
q
=> q
Logika matematika
B
B
B
bila awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
B
S
S
bila awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
S
B
B
bila awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
S
S
B
bila awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR

Untuk p benar dan q benar, (p⇒q) = benar

Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah

Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar

Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar

Kesimpulannya adalah, dalam implikasi hanya dinyatakan salah bila pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.

Biimplikasi


Biimplikasi adalah pernyataan yang hanya akan menyatakan benar bila kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar bila keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.

Dalam logika matematika, untuk menyatakan biimplikasi adalah menggunakan symbol ⇔ yang mempunyai arti ”p.. bila dan hanya bila q..”.

Tabel Kebenaran Biimplikasi


p
q
ó q
Logika matematika
B
B
B
P adalah BENAR bila dan hanya bila q adalah BENAR (dianggap benar)
B
S
S
P adalah BENAR bila dan hanya bila q adalah SALAH (dianggap salah)
S
B
S
P adalah SALAH bila dan hanya bila q adalah BENAR (dianggap salah)
S
S
B
P adalah SALAH bila dan hanya bila q adalah SALAH (dianggap benar)

Agar lebih jelas, berikut pembahasan singkatnya.

Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar

Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah

Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah

Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar


Ekuivalensi pernyataan majemuk


Setelah mengetahui materi dasar mengenai logika matematika, selanjutnya adalah mempelajari mengenai ekuivalensi pernyataan majemuk. Maksudnya adalah dua pernyataan majemuk yang berbeda namun mempunyai nilai yang sama atau ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah “≡“.

Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen yaitu:

 Salah satu ilmu cabang matematika yang menjadi wajib untuk dipelajari adalah logika matem Logika Matematika - Rangkuman Materi, Tabel Kebenaran & Contoh Soal


Ingkaran Pernyataan Majemuk


Ingkaran Konjungsi: (p ˄ q) ≡  p ˅ q

Ingkaran Disjungsi:    (p ˅ q)  ≡  p ˄ q

Ingkaran Implikasi:  (p ⇒ q) ≡  p ^ q

Ingkaran Biimplikasi: (p ⇔ q) ≡ (p ^ q) v (q ^ p)


Konvers, invers, dan kontraposisi


Ketiga pernyataan konvers, invers dan kontraposisi adalah pernyataan yang hanya berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi mempunyai ketiga pernyataan tersebut.

Agar lebih mudah dalam pemahamannya, berikut ringkasannya.

Diketahui sebuah implikasi p⇒q,

Maka konversnya adalah q⇒p

Inversnya adalah p⇒ q

Sedangkan untuk kontraposisinya adalah q⇒ p

Kuantor pernyataan


Kuantor pernyataan adalah sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum adalah pernyataan yang menggunakan “untuk setiap” atau “untuk semua”. Simbol yang digunakan adalah x.

Contoh:

Pernyataan “semua bunga adalah indah”. Maka notasinya adalah (∀x), [ B(x) → I(x) ]

Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus adalah pernyataan yang menggunakan “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang digunakan adalah Ǝx.

Contoh:

Pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya adalah (Ǝx),Jx


Ingkaran dari pernyataan kuantor


Sama seperti pernyataan, kuantor juga mempunyai negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini adalah bahwa negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai contoh adalah:

p : semua bunga adalah indah

p : semua bunga tidaklah indah.

Penarikan kesimpulan


Penarikan kesimpulan adalah materi terakhir dalam logika matematika. Kesimpulan dapat ditarik dari premis atau pernyataan yang telah ada. Ada tiga metode untuk melakukan penarikan kesimpulan.

Modus ponens


Modus ponens mempunyai rumus: premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya bila diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya adalah q.

Contoh:

Premis 1: bila musim semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.

Modus Tollens


Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q
Kesimpulan: p

Contoh:

Premis 1: bila musim dingin tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang musim dingin.


Silogisme


Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r

Contoh:

Premis 1: bila musim panas tiba, hutan akan kekeringan.
Premis 2: bila hutan kekeringan maka pepohonan akan mati.
Kesimpulan: bila musim panas tiba, maka pepohonan akan mati.

Pembahasan sederhana diatas diharapkan dapat membantu dalam memahami Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu logika matematika sering digunakan dalam metode penelitian dan kegiatan akademik lainnya.


EmoticonEmoticon